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Génération de Nombres Premiers et l'Hypothèse de Riemann

La recherche de nombres premiers est un sujet central en mathématiques et en informatique théorique. La génération de séquences de nombres premiers l'est encore plus et la possibilité de générer ces nombres dans l'ordre croissant et décroissant est au coeur de la résolution de l'hypothèse de RIEMANN.

Génération ordonnée des nombres premiers

L'Hypothèse de Riemann, formulée par le mathématicien Bernhard Riemann en 1859, postule une connexion profonde entre la distribution des nombres premiers et une fonction mathématique complexe, la fonction zêta de Riemann \[ zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \].

L'étude des zéros de la fonction zêta est cruciale. Ces zéros se divisent en deux catégories : les zéros triviaux, les entiers pairs négatifs -2, -4, -6, etc., et les autres, qui sont au cœur de l'hypothèse de Riemann. Cette dernière propose que tous les zéros non triviaux se trouvent sur la droite $\text{Re}(s) = \frac{1}{2}$ .

Si cette conjecture s'avère vraie, elle fournirait des informations précieuses sur la distribution des nombres premiers. Ce problème figure déjà parmi les 23 questions posées par David Hilbert lors du IIe congrès mondial des mathématiciens en 1900. Resté non résolu au XXe siècle, il est toujours l'un des sept problèmes du millénaire, pour la résolution duquel une récompense de un million de dollars est offerte par la fondation Clay.

Le problème : Pour étudier la distribution des nombres premiers, encore faut-il pouvoir les générer efficacement.
La solution : nous vous montrons comment les générer ici.

Compromission des méthodes de chiffrement RSA et de NTRU

L'habituel défaut de l'homme est de ne pas prévoir l'orage par beau temps (Nicolas Machiavel).

L'impensable est arrivé

Les méthodes de chiffrement de données, comme RSA et NTRU, s'appuient sur des problèmes mathématiques complexes pour assurer la sécurité des informations.

RSA est un algorithme de chiffrement asymétrique très populaire. On s'en sert rarement pour chiffrer et déchiffrer de grandes quantités de données à cause de sa lenteur.
En revanche, on le trouve partout dans les communications électroniques parce qu'il assure l'identification et l'authentification des entités.
Voici, par exemple, le module du certificat racine de l'Etat français , valable du 14 avril 2010 au 14 avril 2028.Tous les certificats racines utilisent du RSA-4096.

Le problème : il faut trouver des paires d'entiers {X, Y} tels que $X^2 \equiv Y^2 \pmod{N}$. Si de telles paires sont trouvées, il se pourrait que le $pgcd(X-Y,N)$ ou le $pgcd(X+Y,N)$ soit un facteur de $N$.Si tel n'est pas le cas, on passe à une autre paire {X,Y}.
Tous les algorithmes utilisent ce procédé, y compris l'algorithme quantique de SHOR, dont le principe consiste à trouver deux nombres a et r tels que $a^r - 1 = (a^{r/2} - 1)(a^{r/2}+1) \equiv 0 \mod(N)$ en posant $X=a^{r/2}, Y=1$.
Personne, jusqu'à nous, ne sait produire ces paires {X,Y}, pour n'importe quel nombre N..
La solution : nous vous invitons à la découvrir ici.

NTRU est un autre système de cryptographie à clé publique qui repose sur la difficulté de trouver le vecteur le plus court dans un réseau. Sa notoriété actuelle vient de ce qu'Il est conçu pour être résistant aux attaques des futurs ordinateurs quantiques.

Le problème : étant donné une base de vecteurs linéairement indépendants $b_1, b_2, ..., b_n$, trouver un vecteur non nul $v = \sum_{i=1}^{n} x_i b_i$ avec $x_i \in \mathbb{Z}$ tel que sa norme euclidienne ||v|| est minimisée. Trouver le plus court vecteur dans un réseau multidimensionnel est un problème mathématique dépendant de la solution du problème somme de sous-ensemble, lui-même dépendant, dans un certain cas, soit du problème factorisation, soit du problème clique de taille k.
La solution : Nous vous invitons à la découvrir ici. Le fait que les $b_1, b_2, ..., b_n$ soient des vecteurs n'est pas un gros obstacle. Par une simple fonction de couplage de CANTOR, on peut transformer les vecteurs $b_1, b_2, ..., b_n$ en scalaires $B_1, B_2, ..., B_n$.

P = NP

Nous prouvons que P = NP.

Solutions de quelques problèmes NP-Complets

Rappelons d'abord que :

P est la classe de problèmes qui peuvent être résolus par un algorithme en temps polynomial, c'est-à-dire, en un temps raisonnable.
NP est la classe de problèmes dont la solution peut être vérifiée par un algorithme en temps polynomial.

L'égalité P = NP traduit la question de savoir si l'on peut trouver facilement ce que l'on peut vérifier facilement.

Pour prouver que P = NP, il est affirmé qu'il suffit de proposer la solution d'un problème NP-complet. Ce n'est pas exact. Loin s'en faut.

La preuve : le problème de satiafiabilité (SAT), qui est l'archétype des problèmes de décision, est caractérisé par n le nombre de variables et $2^n$ le nombre de combinaisons de variables (les clauses).

Or, La formule du binôme de NEWTON $2^n = \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{k}+...+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}$ montre clairement que la solution du problème SAT dépend directement de notre capacité à identifier une combinaison particulière dans un ensemble de combinaisons de cardinal .$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Parler de réduction d'un problème à un autre est inapproprié.

Voici donc, dans un ordre adéquat, les solutions de :

Clique de taille k : Il s'agit de trouver un sous-ensemble de k sommets connectés entre eux dans un graphe.
Nous vous proposons de résoudre le problème de l'hébergement des étudiants sous contraintes tel que Stephen COOK le présente sur le site du CLAY MATHEMATICS INSTITUTE. Vous aurez la possibilité de proposer des listes de sommets incompatibles, et nous vous donnerons le nombre total de combinaisons compatibles, en vous fournissant bien sûr un moyen de vérifier ces résultats.
Ce sera ici.
SAT : Déterminer si une formule logique est satisfiable (c'est-à-dire, s'il existe une attribution de valeurs de vérité aux variables qui rend la formule vraie).
Somme de sous-ensembles : Déterminer s'il existe un sous-ensemble d'un ensemble de nombres dont la somme est égale à une valeur cible.

Nofy, notre IA hybride multi-agents, décentralisée

Avec son écosystème intégré, son explicabilité et son modèle décentralisé, NOFY IA est en train de redéfinir ce que seront les futures plateformes technologiques d'intelligence artificielle.

L'explicabilité, l'efficience et la frugalité dans l'ADN de Nofy

L’intelligence artificielle est aujourd’hui un élément de souveraineté critique, au cœur des enjeux essentiels de compétitivité industrielle et de performance pour notre société.

Nofy est un système d'intelligence artificielle hybride multi-agents, décentralisée, , conçu pour repousser les limites de l'IA traditionnelle.. Il combine des logiques avancées (modale, déontique, temporelle, de croyance) avec une capacité unique à expliquer ses décisions, garantissant ainsi une transparence totale dans son fonctionnement.

De plus, nous avons mis au centre de nos préoccupations la protection de nos données. Chacun doit pouvoir en disposer comme bon lui semble.

Nofy repose sur des principes de satisfiabilité et de recherche de combinaisons compatibles, une technologie que nous sommes les seuls à détenir et qui nous place loin devant tous nos concurrents.

De par sa conception et sa philosophie résolument WEB 3.0, Nofy est une intelligence artificielle, multidimensionnelle, qui la transforme naturellement en :

moteur de recherche : les plateformes Nofy permet de naviquer efficacement dans de vastes ensembles de données comme le fait GOOGLE KNOWLEDGE GRAPH SEARCH. Grâce à son raisonnement logique avancé, elle peut comprendre le contexte de la recherche et fournir des réponses plus pertinentes, facilitant ainsi la recherche de connaissances ou d'informations spécifiques ;
réseau social: Nofy comme FACEBOOK, LINKDIN, X et autres réseaux sociaux facilite la création de connexions authentiques et sécurisées entre utilisateurs, favorisant un environnement où les interactions sont non seulement productives mais aussi respectueuses de normes éthiques ;
place de marché : Nofy offre une plateforme d'échange de biens et de services, où les utilisateurs peuvent interagir en toute confiance ;
plateforme de service : Avec Nofy, chacun et chacune peut mettre à disposition dans un environnement contrôlé non seulement sa propre plateforme, mais aussi des outils et des services pour faciliter la réalisation de projets et d'objectifs variés.

Chaque plateforme NOFY déployée contribue à sa résilience: elles sont capables de s’adapter et de continuer à fonctionner même dans toutes les conditions de disponibilité très dégradée, notamment dans un contexte de crises énergétiques extrêmes où les coupures d’électricité et le manque d'eau seraient par exemple monnaie courante.

Nous vous invitons à la découvrir ici.